Question

如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tan∠BOA=

1

2

．若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，則線段OG的長為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：由E的坐標確定出OA的長，根據(jù)tan∠BOA，利用銳角三角形函數(shù)定義求出AB的長，確定出B的坐標，根據(jù)D為OB的中點，確定出D坐標，進而確定出反比例函數(shù)解析式中k的值，求出反比例解析式，設F（a，2），代入反比例解析式求出a的值，得到CF的長，連接FG，在之間三角形CGF中，設OG=t，利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出OG的長．

解答：解：∵點E（4，n）在邊AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，tan∠BOA=

1

2

，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×

1

2

=2，
∴點B的坐標為（4，2），
∵點D為OB的中點，
∴點D（2，1），
∴

k

2

=1，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

，
如圖，設點F（a，

2

a

），
∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，
∴

2

a

=2，解得a=1，
∴CF=1，
連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，即t²=（2-t）²+1²，
解得t=

5

4

，
∴OG=t=

5

4

．
故答案為：

5

4

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．