Question

【題目】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線AB上一點，作直線CD，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．

（1）若D在線段AB上，如圖，試猜想線段EF、AE和BF之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

（2）若D在線段AB的延長線上，請你根據(jù)題意畫出圖形，試猜想線段EF、AE和BF之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）AE＝EF+BF，證明見解析；（2）畫圖見解析，EF＝AE+BF，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAE＝∠BCF，又因為AC＝BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，根據(jù)AAS證明△ACE≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與等量關系即可得出結(jié)論；

（2）同（1）證明△ACE≌△CBF，可得出結(jié)論EF＝AE+BF．

解：（1）AE＝EF+BF，證明如下：

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，

∵∠ACE+∠BCF＝90°，

∴∠CAE＝∠BCF，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AEC＝∠BFC＝90°，

在△ACE與△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF，CE＝BF，

∴AE＝CF=EF+CE=EF+BF．

（2）如圖，EF＝AE+BF，證明如下：

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，

∵∠ACE+∠BCF＝90°，

∴∠CAE＝∠BCF，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AEC＝∠BFC＝90°，

在△ACE與△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF，CE＝BF，

∴EF＝CF+CE＝AE+BF．