【題目】如圖,在ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,EAD的中點,過點AAFBCBE的延長線于點F,連接CF.

(1) 求證:AD=AF;

(2) ABC滿足什么條件時,四邊形ADCF是矩形.并說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)當AB=AC時,四邊形ADCF是矩形,理由見解析

【解析】

(1) EAD的中點,AFBC,易證得AEF≌△DEB,即可得AF=BD,又由在ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,即可證得AD=BD=CD=BC,即可證得:AD=AF;

(2) AB=AC時,四邊形ADCF是矩形.由AF=BD=DC,AFBC,可證得:四邊形ADCF是平行四邊形,又由AB=AC,根據(jù)三線合一的性質(zhì),可得ADBC,AD=DC,繼而可得四邊形ADCF是正方形.

(1) 證明:∵AFBC,

∴∠EAF=EDB,

EAD的中點,

AE=DE,

AEFDEB中,

,

∴△AEF≌△DEB(ASA),

AF=BD,

∵在ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,

AD=BD=DC=BC,

AD=AF.

(2) AB=AC時,四邊形ADCF是矩形.

AF=BD=DC,AFBC,

∴四邊形ADCF是平行四邊形,

AB=AC,AD是中線,

ADBC,

AD=AF,

∴四邊形ADCF是正方形,是特殊的矩形.

練習冊系列答案
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