Question

平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內(nèi)角不超過45°．

Answer 1

分析：根據(jù)反證法的步驟，第一步應假設結(jié)論的反面成立，即三角形的三個內(nèi)角都大于45°，從假設出發(fā)推出矛盾：四邊形內(nèi)角和大于360°矛盾；三角形內(nèi)角和大于180°．從而得以證明結(jié)論．

解答：證明：假設A、B，C、D四點，任選三點構(gòu)成的三角形的三個內(nèi)角都大于45°，
當ABCD構(gòu)成凸四邊形時，可得各角和大于360°，與四邊形內(nèi)角和等于360°矛盾；
當ABCD構(gòu)成凹四邊形時，可得三角形內(nèi)角和大于180°，與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾．
故在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內(nèi)角不超過45°．

點評：本題考查了反證法．
反證法的步驟是：（1）假設結(jié)論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結(jié)論成立．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．