Question

17．如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM⊥AB，點(diǎn)P在AM上，連接OP交半圓O于點(diǎn)D，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求證：BC∥OP；
（2）若半圓O的半徑等于2，填空：
①當(dāng)AP=2時(shí)，四邊形OAPC是正方形；
②當(dāng)AP=2$\sqrt{3}$時(shí)，四邊形BODC是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可以得到OP⊥AC，由AB是圓O的直徑，可以得到AC⊥BC，從而可以得到BC∥OP；
（2）①若四邊形OAPC是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到AP的長；
②若四邊形BODC是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，通過變形，可以得到AP的長．

解答 （1）證明：連接OC，AC，如右圖所示，
∵AB是直徑，AM⊥AB，
∴BC⊥AC，AP是圓的切線，
∵PC切半圓O于點(diǎn)C，
∴PA=PC，
又∵OA=OC，
∴OP⊥AC，
∴BC∥OP；
（2）①若四邊形OAPC是正方形，則OA=AP，
∵OA=2，
∴AP=2．
故答案為：2；
②若四邊形BODC是菱形，則CB=BO=OD=DC，
∵AB=2OB，∠ACB=90°，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠ABC=60°，
又∵∠OAP=90°，OA=2，
∴∠OPA=30°，
∴OP=4，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．