Question

9．已知，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)C在⊙O的半徑OA上運(yùn)動(dòng)，PC⊥AB，垂足為C，PC=5，PT為⊙O的切線，切點(diǎn)為T(mén)．

（1）如圖1，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，求PT的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連接PO、BT，求證：PO∥BT；
（3）如圖3，設(shè)PT=y，AC=x，求y與x的解析式并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）連接OT，根據(jù)題意，由勾股定理可得出PT的長(zhǎng)；
（2）連接OT，則OP平分劣弧AT，則∠AOP=∠B，從而證出結(jié)論；
（3）設(shè)PC交⊙O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，由相交弦定理，可得出CD的長(zhǎng)，再由切割線定理可得出y與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得y的最小值．

解答 （1）解：如圖（1），連接OT，
∵PC=5，OT=4，
∴由勾股定理得，PT=$\sqrt{P{C^2}-O{T^2}}$=$\sqrt{25-16}$=3；

（2）證明：如圖（2）連接OT，
∵PT，PC為⊙O的切線，
∴OP平分劣弧AT，
∴∠POA=∠POT，
∵∠AOT=2∠B，
∴∠AOP=∠B，
∴PO∥BT；

（3）解：如圖（3），連接PO，PT
∵AB是⊙O的直徑，AB=8，AC=x
∴CO=4-x；
又∵PC⊥AB
∴PO=$\sqrt{{{（4-x）}^2}+{5^2}}$
∴y=PT=$\sqrt{P{O^2}-O{T^2}}$=$\sqrt{{{（4-x）}^2}+{5^2}-{4^2}}$=$\sqrt{{x^2}-8x+25}$
∴y_最小=$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及勾股定理的內(nèi)容，是中考?jí)狠S題，難度較大．