Question

如圖，PC經(jīng)過圓心O，弦AB⊥PC于點D．連接BC和PA，且∠PAB=2∠PCB．
（1）求證：PA為圓O的切線；
（2）延長PA至點E，使PE=PC，若tan∠PCB=

1

3

，求sin∠PEC的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連接AO，CF為直徑，如圖，根據(jù)垂徑定理得弧AF=弧BF，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOF=2∠PCB，由于∠PAB=2∠PCB，則∠PAB=∠AOP，而∠AOD+∠DAO=90°，于是∠PAD+∠DAO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得PA為圓O的切線；
（2）作EH⊥PC于H，連接AF，如圖，在Rt△BDC中，利用正切的定義得tan∠DCB=

BD

CD

=

1

3

，于是可設(shè)BD=x，則CD=3x，由垂徑定理得到AD=BD=x，由圓周角定理得到∠FAD=∠FCB，則在Rt△AFD中，tan∠FAD=

FD

AD

=

1

3

，則FD=

1

3

x，F(xiàn)C=FD+CD=

10

3

x；接著在Rt△APD中，根據(jù)勾股定理得PA²=PD²+AD²=PD²+x²，
加上由切割線定理得PA²=PF•PC=（PD-FD）•（PD+CD）=（PD-

1

3

x）（PD+3x），所以PD²+x²=（PD-

1

3

x）（PD+3x），解得PD=

4

3

x，易得PA=

5

3

x，PC=

13

3

x，由PE=PC=

13

3

x得∠PEC=∠PCB，然后證明△PAD∽△PEH，利用相似比可得EH=

13

5

x，PH=

52

15

x，則CH=PC-PH=

13

15

x，在Rt△EHC中利用勾股定理計算出EC=

13 10

15

x，則根據(jù)正弦的定義得sin∠ECH=

EH

EC

=

3 10

10

，所以sin∠PEC=

3 10

10

．

解答：（1）證明：連接AO，CF為直徑，如圖，
∵弦AB⊥PC于點D，
∴弧AF=弧BF，∠AOD=90°，
∴∠AOF=2∠PCB，
∵∠PAB=2∠PCB，
∴∠PAB=∠AOP，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠PAD+∠DAO=90°，即∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA為圓O的切線；
（2）解：作EH⊥PC于H，連接AF，如圖，
在Rt△BDC中，tan∠DCB=

BD

CD

=

1

3

，
設(shè)BD=x，則CD=3x，
∵AB⊥CF，
∴AD=BD=x，
∵∠FAD=∠FCB，
∴在Rt△AFD中，tan∠FAD=

FD

AD

=

1

3

，
∴FD=

1

3

x，
∴FC=FD+CD=

1

3

x+3x=

10

3

x，
在Rt△APD中，PA²=PD²+AD²=PD²+x²，
∵PA為圓O的切線，
∴PA²=PF•PC=（PD-FD）•（PD+CD）=（PD-

1

3

x）（PD+3x），
∴PD²+x²=（PD-

1

3

x）（PD+3x），解得PD=

4

3

x，
∴PA²=PD²+x²=（

4

3

x）²+x²=

25

9

x²，解得PA=

5

3

x，
PC=PD+CD=

13

3

x，
∵PE=PC，
∴PE=

13

3

x，∠PEC=∠PCB，
∵AD∥EH，
∴△PAD∽△PEH，
∴

AD

EH

=

PD

PH

=

PA

PE

，即

x

EH

=

4 3 x

PH

=

5 3 x

13 3 x

，解得EH=

13

5

x，PH=

52

15

x，
∴CH=PC-PH=

13

3

x-

52

15

x=

13

15

x，
在Rt△EHC中，EC=

EH2+CH2

=

13 10

15

x，
∴sin∠ECH=

EH

EC

=

13 5 x

13 10 x 15

=

3 10

10

，
∴sin∠PEC=

3 10

10

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了切割線定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．