Question

如圖，直線y=x-4分別交x、y軸于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求B點的坐標(biāo)；
（2）若D是OA中點，過A的直線l

（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，并交y軸于點C．
①求過A、C、D三點的拋物線的函數(shù)解析式；
②把①中的拋物線向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸的兩個交點分別為M、N，試問過M、N、B三點的圓的面積是否存在最小值？若存在，求出圓的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：

（1）∵當(dāng)x=0時，y=-4，
∴B點的坐標(biāo)為（0，-4）；

（2）

①∵過A的直線l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，
∴C（0，-2），
又∵A（，0），D是OA中點，
∴D（，0），
設(shè)過A、C、D三點的拋物線的函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，
∴，
解得：，
∴過A、C、D三點的拋物線的函數(shù)解析式為y=-x²+x-2；
②存在．
理由如下：拋物線的解析式可化為y=-（x-5）²+，其對稱軸是x=5．
由于過M、N的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，
即點B到圓心的距離要最短，過B作BE垂直拋物線的對稱軸，垂足為E，
則符合條件的圓是以E為圓心，EB長為半徑的圓，
其面積為25π．

分析：

（1）由直線y=x-4分別交y軸于B點，令x=0，即可求得B點的坐標(biāo)；
（2）

①由D是OA中點，過A的直線l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，并交y軸于點C，即可求得點A，C，D的坐標(biāo)，然后設(shè)過A、C、D三點的拋物線的函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
②由拋物線的解析式可化為y=-（x-5）²+，其對稱軸是x=5．由于過M、N的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，即點B到圓心的距離要最短，過B作BE垂直拋物線的對稱軸，垂足為E，則符合條件的圓是以E為圓心，EB長為半徑的圓，求得圓的面積．
點評：此題考查了函數(shù)與點的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及圓的面積的最小問題．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．