Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫“夢(mèng)之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)．

（1）若點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y＝（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)y＝3kx+s﹣1（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿(mǎn)足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，試求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在，坐標(biāo)為（，）；（3）t＞．

【解析】

（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義得出m的值，代入反比例函數(shù)的解析式求出n的值即可；

（2）根據(jù)夢(mèng)之點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，則x2，x2為此方程的兩個(gè)不等實(shí)根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0時(shí)，根據(jù)0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于拋物線y＝ax2+（b﹣1）x+1的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，于是得到﹣3＜＜3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y＝（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，

∴m＝2，

∴P（2，2），

∴n＝2×2＝4，

∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y＝；

（2）由y＝3kx+s﹣1得當(dāng)y＝x時(shí)，（1﹣3k）x＝s﹣1，

當(dāng)k＝且s＝1時(shí)，x有無(wú)數(shù)個(gè)解，此時(shí)的“夢(mèng)之點(diǎn)”存在，有無(wú)數(shù)個(gè)；

當(dāng)k＝且s≠1時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)的“夢(mèng)之點(diǎn)”不存在；

當(dāng)k≠，方程的解為x＝，此時(shí)的“夢(mèng)之點(diǎn)”存在，坐標(biāo)為（，）；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，則x2，x2為此方程的兩個(gè)不等實(shí)根，

由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0時(shí)，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2時(shí)，﹣2≤x2＜4；

∵拋物線y＝ax2+（b﹣1）x+1的對(duì)稱(chēng)軸為x＝，故﹣3＜＜3，

由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，

y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，當(dāng)a＞﹣時(shí)，t隨a的增大而增大，當(dāng)a＝時(shí)，t＝，

∴a＞時(shí)，t＞．