【題目】如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣3,0)、(0,4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)B點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線y=上.

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí),試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上,并說(shuō)明理由.

(3)(2)的條件下,若M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)MMN平行于y軸交CD于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,MN的長(zhǎng)度為s,求st之間的函數(shù)關(guān)系式,寫(xiě)出自變量t的取值范圍,并求s取大值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x2x+4;(2)點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上;(3)s=﹣(t﹣2+,當(dāng)s最大時(shí),此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).

【解析】

(1)已知了拋物線上A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱軸方程,可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.

(2)首先求出AB的長(zhǎng),將A、B的坐標(biāo)向右平移AB個(gè)單位,即可得出C、D的坐標(biāo),再代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可.

(3)根據(jù)C、D的坐標(biāo),易求得直線CD的解析式;那么線段MN的長(zhǎng)實(shí)際是直線BC與拋物線的函數(shù)值的差,可將x=t代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中,得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達(dá)式,由此可求出l、t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo).

(1)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線x=上,

∴可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=(x﹣2+m,

∵點(diǎn)B(0,4)在此拋物線上,

4=(0﹣2+m,

m=﹣,

∴所求函數(shù)關(guān)系式為:y=(x﹣2x2x+4;

(2)RtABO中,OA=3,OB=4,

AB==5.

∵四邊形ABCD是菱形,

BC=CD=DA=AB=5,

A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣3,0))、(0,4),

C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,4)、(2,0);

當(dāng)x=5時(shí),y=×52×5+4=4,

當(dāng)x=2時(shí),y=×22×2+4=0,

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上;

(3)設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n,

,

解得:;

y=x﹣

MNy軸,M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,

N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t;

yMt2t+4,yNt﹣

s=y(tǒng)N﹣yM=(t﹣)﹣(t2t+4)

=﹣(t﹣2+,

<0,

∴當(dāng)t=時(shí),s最大,此時(shí)yM×(2×+4=

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).

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(1)求此拋物線解析式;

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