Question

已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：點D是AB的中點；
（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若⊙O的直徑為18，cosB=，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；
（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；
（3）結論CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，則AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．
解答：（1）證明：連接CD，
∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即點D是AB的中點．

（2）解：DE是⊙O的切線．
證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切線；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=，
∵cosB=，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=．
點評：本題考查了切線的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形的運用，關鍵是作輔助線，將問題轉化為直角三角形，等腰三角形解題．