Question

類比聯(lián)想：既然任意一個(gè)三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，那三角形的三邊上的中線是否也交于一點(diǎn)；三個(gè)角的平分線是否也交于一點(diǎn)；試通過(guò)折紙或用直尺、圓規(guī)畫(huà)圖驗(yàn)證這種猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)△ABC的兩條中線BD、CE相交于點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交BC于M，作BN∥CE，連接CN，由平行四邊形的判定定理可判斷出四邊形BNCG是平行四邊形，再由平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由角平分線的性質(zhì)判斷出PF=PE即可．
解答：解：（1）如圖，設(shè)△ABC的兩條中線BD、CE相交于點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交BC于M，作BN∥CE，連接CN，
∵E是AB的中點(diǎn)，BN∥CE，
∴點(diǎn)G是AN的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴GD∥CN，
∴四邊形BNCG是平行四邊形，
∴BC、GN互相平分，即點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AM是BC的中線，即△ABC的三條中線交于一點(diǎn)；

（2）如圖，△ABC中，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)P，過(guò)P作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F，
∵AP、BP分別為∠A、∠B的平分線，
∴PF=PD=PE，
∵PF=PE，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴點(diǎn)P在∠C的平分線上，
∴三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的三個(gè)角平分線、三條邊的中線交于一點(diǎn)的證明過(guò)程，是中學(xué)階段必須掌握的知識(shí)點(diǎn)．