Question

一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=5²-3²，16就是一個“智慧數(shù)”．在正整數(shù)中從1開始數(shù)起，試問第1998個“智慧數(shù)”是哪個數(shù)？并請你說明理由．

Answer 1

1不能表示為兩個正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=（k+1）²-k²（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．
對于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=（k+1）²-（k-1）²（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．
對于被4除余2的數(shù)4k+2（k=0，1，2，3，…），設(shè)4k+2=x²-y²=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數(shù)，
當(dāng)x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當(dāng)x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．
所以不存在自然數(shù)x，y使得x²-y²=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．
因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”．
因?yàn)?998=（1+3×665）+2，4×（665+1）=2664，所以2664是第1996個“智慧數(shù)”，2665是第1997個“智慧數(shù)”，
注意到2666不是“智慧數(shù)”，
因此2667是第1998個“智慧數(shù)”，
即第1998個“智慧數(shù)”是2667．