Question

15、一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=5²-3²，16就是一個“智慧數(shù)”．在正整數(shù)中從1開始數(shù)起，試問第1998個“智慧數(shù)”是哪個數(shù)？并請你說明理由．

Answer 1

分析：如果一個數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個正整數(shù)的平方差，設(shè)這兩個數(shù)分別m、n，設(shè)m＞n，即智慧數(shù)=m²-n²=（m+n）（m-n），因為m，n是正整數(shù)，因而m+n和m-n就是兩個自然數(shù)．要判斷一個數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個整數(shù)的積，看這兩個數(shù)能否寫成兩個正整數(shù)的和與差．

解答：解：1不能表示為兩個正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=（k+1）²-k²（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．
對于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=（k+1）²-（k-1）²（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．
對于被4除余2的數(shù)4k+2（k=0，1，2，3，…），設(shè)4k+2=x²-y²=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數(shù)，
當(dāng)x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當(dāng)x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．
所以不存在自然數(shù)x，y使得x²-y²=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．
因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”．
因為1998=（1+3×665）+2，4×（665+1）=2664，所以2664是第1996個“智慧數(shù)”，2665是第1997個“智慧數(shù)”，
注意到2666不是“智慧數(shù)”，
因此2667是第1998個“智慧數(shù)”，
即第1998個“智慧數(shù)”是2667．

點評：本題主要考查了平方差公式，有一定的難度，主要是對題中新定義的理解與把握．