Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y=

2

x

于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）請(qǐng)找出圖形中所有的等腰直角三角形．（不必寫過(guò)程）
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)b（b≠0），AD•BD為定值

 

．（直接寫出答案）；
（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的k值等于1，與坐標(biāo)軸相交所成的銳角是45°，所以與坐標(biāo)軸所成夾角為銳角的直角三角形都是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的

2

倍，用CD表示出AD的長(zhǎng)度，用DE表示出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式，CD•DE的值等于k值進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，OB=a（a＞0），表示出點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出a值，如果求出a＞0，然后得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在直線y=x+b上，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式求出b值即可，如果a≤0，則不存在滿足條件的直線．

解答：解：（1）∵直線y=x+b，
∴比例系數(shù)k=1，
∴∠EBD=∠DAC=45°，
又DC⊥x軸，DE⊥y軸，
∴△AOB、△ACD、△BDE是等腰直角三角形；

（2）由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形．
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE．
∵點(diǎn)D在雙曲線y=

2

x

上，
∴CD•DE=2，
∴AD•BD=

2

CD•

2

DE=2×2=4為定值，
定值為4；

（3）存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形．
理由如下：若四邊形OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD，
設(shè)OB=a （a＞0），
則B（0，-a），D（2a a），
∵點(diǎn)D在雙曲線y=

2

x

上，
∴2a•a=2，
解得a₁=1，a₂=-1（舍去），
∴B（0，-1），D（2，1）
又B在y=x+b上，
∴b=-1，
即存在直線AB：y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)．