Question

如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D點(diǎn)的任一點(diǎn)，且∠NMB=∠MBC．
若DN=1，則BM的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：延長MN于K，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合N是DC的中點(diǎn)，得出AD=2，MD=CK，MN=NK，根據(jù)∠NMB=∠MBC．得出MK=BK=BC+CK，設(shè)CK=MD=x，則MK=2+x，MN=1+

1

2

x，在RT△MND中，根據(jù)勾股定理求得x的值，進(jìn)而求得AM的值，在RT△MAB中根據(jù)勾股定理即可求得BM的值．

解答：解：延長MN交BC的延長線于K，
∵在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，
∴AD=DC=DN+NC=2DN=2，AD∥BC，
在△MND與△KNC中，

∠MND=∠KNC ∠D=∠NCE DN=CN

，
∴△MND≌△KNC（AAS），
∴MD=CK，MN=NK，
∵∠NMB=∠MBC．
∴MK=BK=BC+CK，
設(shè)CK=MD=x，
∴MK=2+x，MN=1+

1

2

x，
在RT△MND中，x²+1²=（1+

1

2

x）²，
解得x=

4

3

，x=0（舍去），
∴AM=2-

4

3

=

2

3

，
在RT△MAB中，BM²=AB²+AM²=4+

4

9

=

40

9

，
∴BM=

2

3

10

．
故答案為

2

3

10

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形是本題的關(guān)鍵．