Question

圖1是邊長分別為4

3

和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD，BE，CE的延長線交AB于F（圖2）．
探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論；
（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR（圖3）．
探究：設(shè)△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）BE=AD，尋找證明△ADC≌△BEC（SAS）的條件．
（2）設(shè)PR、RQ分別交AC于G、H，QC=x，由題意易得∠RGH=90°，RH=3-QH=3-QC=3-x，分析可知，△GRH是30°的直角三角形，解直角三角形可求GR，GH，可表示△GRH的面積，用△PRQ的面積-△GRH的面積．

解答：解：（1）BE=AD．
∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°
∵∠BCE=30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACD=30°
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴BE=AD．

（2）設(shè)PR、RQ分別交AC于G、H，QC=x，
∵由（1）可知∠ACF=30°，∠PQR=60°，
∴∠CHQ=30°，
∴QH=QC，∠RHG=∠CHQ=30°，
∴∠RGH=90°，RH=3-QH=3-QC=3-x，
∴RG=

1

2

（3-x），GH=

3

2

（3-x），
所以S_Rt△GHR=

1

2

RG•GH=

3

8

（3-x）²，
而∵△C′D′E′的邊長為3，得出S_△PQR=

9

4

3

，
∴重疊部分面積y=

9

4

3

-

3

8

（3-x）²，
即：y=-

3

8

x2+

3

4

3

x+

9

8

3

（0≤x≤3）．

點(diǎn)評：此題綜合性較強(qiáng)，考查了全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)．