Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c則a，b，c滿足的關(guān)系為

 

．
（1）以直角三角形的三邊為邊長作正方形，如圖①，你能發(fā)現(xiàn)這三個正方形的面積之間有什么關(guān)系嗎？
（2）分別以直角三角形的三邊長為直徑作半圓，如圖②，你能發(fā)現(xiàn)這三個半圓的面積之間有什么關(guān)系嗎？試說明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（3）若a=8，b=6，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓（如圖③所示）求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：

分析：根據(jù)勾股定理即可得到a，b，c滿足的關(guān)系．
（1）根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（2）分別表示出S₁、S₂、S₃，結(jié)合勾股定理即可得出關(guān)系式．
（3）根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理就可發(fā)現(xiàn)：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積，從而得出陰影部分的面積=直角三角形的面積．

解答：解：根據(jù)勾股定理可知，a²+b²=c²．
（1）由題意得，S₁=b²，S₂=a²，S₃=c²，
∵a²+b²=c²，
∴S₁+S₂=S₃．
（2）S₁=

π

8

×b²，S₂=

π

8

×a²，S₃=

π

8

×c²，
∵a²+b²=c²，
∴S₁+S₂=S₃．
（3）因?yàn)閍²+b²=c²，
兩邊同乘以

π

8

，即得兩小半圓的面積和等于大半圓的面積，
從而可得S_{陰影部分的面積}=S_{直角三角形的面積}=

1

2

×8×6=24．
故陰影部分的面積是24．
故答案為：a²+b²=c²．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理、正方形的面積公式及圓的面積公式，解答此類題目關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形的特點(diǎn)，不要盲目作答．