Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且OA=OB．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）證法一就根據(jù)“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”由OA=OB=OC=OD得AC=BD，所以四邊形ABCD是矩形；證法二則是根據(jù)“有一個角為直角的平行四邊形是矩形”由，得△ABD是以∠BAD為直角的直角三角形，得∠BAD=90°，根據(jù)矩形的定義知，四邊形ABCD是矩形；

（2）由題意知OA=OB，∠AOB=60°知△AOB是等邊三角形，易知AC=4，根據(jù)勾股定理，有AB2+BC2=AC2可求得BC=．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD

又∵OA=OB

∴OA=OB=OC=OD

∴AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形

證法二：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD

又∵OA=OB

∴△ABD是以∠BAD為直角的直角三角形，

∴∠BAD=90°

根據(jù)矩形的定義知，四邊形ABCD是矩形．

（2）∵OA=OB，∠AOB=60°

∴△AOB是等邊三角形，

∴OA=OB=AB=2

∴AC=2OA=4

∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，有AB2+BC2=AC2

∴BC2=AC2-AB2=42-22=16-4=12

∴BC=