Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E，EF∥BC交AC于F．
（L）求證：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：線段DC，DF、DA之間存在什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用垂直的定義和平行線的性質(zhì)可證明∠DFE=∠DEA=90°，則利用相似三角形的判定方法可判斷△EDF∽△ADE；
（2）由于△EDF∽△ADE，則利用相似比可得到DE²=DF•DA，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DC，從而得到線段DC，DF、DA之間的關(guān)系．

解答 （1）證明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴∠DFE=∠DEA，
而∠FDE=∠EDA，
∴△EDF∽△ADE；
（2）解：DC²=DF•DA．理由如下：
∵△EDF∽△ADE，
∴DE：DA=DF：DE，
即DE²=DF•DA，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
∴DC²=DF•DA．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形比得到DE、DF、DA的關(guān)系．