Question

（1）嘗試：如圖，已知A、E、B三點(diǎn)在同一直線上，且∠A=∠B=∠DEC=90°，
求證：AE•BE=AD•BC．
（2）一位同學(xué)在嘗試了上題后還發(fā)現(xiàn)：如圖2、圖3，只要A、E、B三點(diǎn)在同一直線上，且∠A=∠B=∠DEC，則（1）中結(jié)論總成立．你同意嗎？請(qǐng)選擇其中之一說(shuō)明理由．

（3）運(yùn)用：如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PE交CD于點(diǎn)E，使得∠APE=∠ABC．則當(dāng)BP為何值時(shí)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠D=∠CEB，以及∠A=∠B即可得出△ADE∽△BEC，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠D=∠CEB，進(jìn)而求出△ADE∽△BEC，即可得出

AE

BC

=

AD

BE

；
（3）假設(shè)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，利用△ABP∽△PCE，得出比例式求出即可．

解答：（1）證明：∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
∴AE•BE=AD•BC；

（2）證明：∵∠A=∠B=∠DEC，
∠A+∠D=∠1+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
∴AE•BE=AD•BC；

（3）解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠APE=∠ABC
∴∠B=∠C，∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∴

AB

PC

=

BP

CE

，
∵AB=4，BC=9，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=2，假設(shè)BP=x，
∴

4

9-x

=

x

2

，
∴x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8．
∴當(dāng)BP為1或8時(shí)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定是初中階段考查的重點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．