Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，

∴AP=AP′，

∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），

∴∠CBP=∠ABP；

（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，

∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，

∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE=DP，

∴AE=CP；

（3）解：∵=，

∴設(shè)CP=3k，PE=2k，

則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E==4k，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，

∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，

∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），

∴∠CBP=∠P′PE，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，

∴△ABP′∽△EPP′，

∴=，

即=，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，AB²+P′A²=BP′²，

即AB²+AB²=（5）²，

解得AB=10．