如圖(1),△ABC與△EFD為等腰直角三角形,AC與DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,將△EFD繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí),旋轉(zhuǎn)中止。不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和結(jié)束時(shí)重合的情況,設(shè)DE、DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)于G、H點(diǎn),如圖(2)。
1.問(wèn):始終與△AGC相似的三角形有 及 ;
2.設(shè)CG=x,BH=y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)2的情況說(shuō)明理由);
3.問(wèn):當(dāng)x為何值時(shí),△AGH是等腰三角形?
1.△HGA及△HAB
2.
由(1)可知△AGC∽△HAB,∴,
即,所以
3.
①當(dāng)CG<BC時(shí),∠GAC=∠H<∠HAC,
∴AC<CH∵AG<AC,∴AG<GH,
又AH>AG,AH>GH,此時(shí),△AGH不可能是等腰三角形;
②當(dāng)CG=BC時(shí),G為BC的中點(diǎn),H與C重合,△AGH是等腰三角形;
此時(shí),GC=,即x=;
③當(dāng)CG>BC時(shí),由(1)可知△AGC∽△HGA,
所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH;
若AG=AH,則AC=CG,此時(shí)x=9;
綜上,當(dāng)x=9或時(shí),△AGH是等腰三角形。
【解析】略
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