Question

兩個反比例函數(shù)y=

k

x

和y=-

1

x

，在第二象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=

k

x

的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C交y=-

1

x

的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D交y=-

1

x

的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在y=

k

x

的圖象上運(yùn)動時(shí)，以下結(jié)論：
①-1＜k＜0；     ②k＜-1；
③△ODB與△OAC的面積相等；
④四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；
⑤PA與PB始終相等；
⑥當(dāng)點(diǎn)B是PD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A一定是PC的中點(diǎn)．
其中一定正確的是

 

（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上，少填、多填或錯填均不給分）

Answer 1

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，特別是根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，對各小題逐一進(jìn)行分析，即可得出正確答案．

解答：解：根據(jù)題意，點(diǎn)P與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，都是負(fù)數(shù)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，
∴

k

x

＞-

1

x

，
解得k＜-1，
∴①錯誤，②正確；
∵y=-

1

x

，
∴S_△ODB=

1

2

×|x|•|y|=

1

2

，
S_△OCA=

1

2

×|x|•|y|=

1

2

，
∴S_△ODB=S_△OCA，故③正確．
∵點(diǎn)P在y=

k

x

上，
∴S_矩形PCOD=|x|•|y|=|k|，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形PCOD-S_△ODB-S_△OCA=|k|-

1

2

-

1

2

=-k-1，
∴四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化，故④正確；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，

k

a

），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（a，-

1

a

），
則PA=

k

a

-（-

1

a

）=

k

a

+

1

a

，
∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

k

a

，
∴-

1

x

=

k

a

，
解得x=-

a

k

，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-

a

k

，
∴PB=-

a

k

-a，
若PA=PB，則

k

a

+

1

a

=-

a

k

-a，
整理得

k

a

=-a，
∴當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的長度相等時(shí)，
即四邊形PCOD是正方形是，PA=PB，故⑤錯誤；
∵點(diǎn)B是PD的中點(diǎn)，
∴a=2（-

a

k

），
∴k=-2，
又點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是

k

a

，即-

2

a

，點(diǎn)A的坐標(biāo)是-

1

a

，
∴-

2

a

=2（-

1

a

），
∴點(diǎn)A一定是PC的中點(diǎn)，故⑥正確．
綜上所述，一定正確的是②③④⑥．
故答案為：②③④⑥．

點(diǎn)評：本題考查反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是知道函數(shù)圖象上的點(diǎn)和坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積和四邊形的面積和k的關(guān)系．