Question

12．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△AED對折至△AFE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②FG=FC；③AG∥CF；④S_△FGC=$\frac{18}{5}$，其中正確結(jié)論是①③④（填序號）．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF，通過證明△GCF不是等邊三角形，得到FG≠FC；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，直接根據(jù)兩個三角形之間關(guān)系即可得到答案．

解答 解：①正確．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②錯誤；③正確．
理由：
EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3=6-3=GC，
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；③正確；
∵BG=CG，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AGB=2，
∴∠AGB≠60°，
∵AG∥CF，
∴∠FCG=∠AGB≠60°，
∴△GCF不是等邊三角形，
∴FG≠FC，②錯誤
④正確．
理由：
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$．
故④正確．
∴正確的個數(shù)有3個．
故答案為①③④．

點(diǎn)評 本題綜合性較強(qiáng)，考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．