Question

【題目】如圖,CE⊥AB,BF⊥AC,垂足分別為E,F,BF交CE于點(diǎn)D,BD=CD.

（1）求證:點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.
（2）若將條件“BD=CD”與(1)中結(jié)論“點(diǎn)D在∠BAC的平分線上”互換,成立嗎?試說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
在△BDE和△CDF中,

∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.
（2）解:將條件“BD=CD”與(1)中結(jié)論“點(diǎn)D在∠BAC的平分線上”互換仍然成立.理由如下:
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,
∴DE=DF.
在△BDE與△CDF中,

∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴BD=CD.
【解析】(1)根據(jù)垂直的定義得出∠DEB=∠DFC=90°.然后利用AAS判斷出△BDE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出DE=DF.根據(jù)角平分線的判定，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上得出點(diǎn)D在∠BAC的平分線上；
（2）將條件“BD=CD”與(1)中結(jié)論“點(diǎn)D在∠BAC的平分線上”互換仍然成立.理由如下:根據(jù)垂直的定義得出∠DEB=∠DFC=90°.根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出DE=DF，然后利用ASA判斷出△BDE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出BD=CD.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用角的平分線判定和角平分線的性質(zhì)定理，掌握可以證明三角形內(nèi)存在一個點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)(交于一點(diǎn))；定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上即可以解答此題．