Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，CG⊥AD于點(diǎn)G，連接FE，F(xiàn)C．

（1）求證：GC是⊙F的切線；

（2）填空：

①若∠BAD=45°，AB=2，則△CDG的面積為_____．

②當(dāng)∠GCD的度數(shù)為_____時，四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】 -； 30°．

【解析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠D=∠BCF，證出CF∥AD，由已知條件得出CG⊥CF，即可得出結(jié)論；

（2）解：①連接AC，BE，根據(jù)圓周角定理得到AC⊥BD，∠AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=CD，解直角三角形得到DE=2﹣2，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DG=EG=DE=﹣1，CG=BE=1，于是得到結(jié)論；

②證出△BCF是等邊三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，證出△ABD是等邊三角形，CF=AD，證出△AEF是等邊三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，證出四邊形EFCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵AB=AD，F(xiàn)B=FC，

∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，

∴∠D=∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，

∴CG⊥CF，

∴GC是⊙F的切線；

（2）解：①∵連接AC，BE，

∵AB是⊙F的直徑，

∴AC⊥BD，∠AEB=90°，

∵AB=AD，

∴BC=CD，

∵∠BAD=45°，AB=2，

∴BE=AE=2，

∴DE=2﹣2，

∵CG⊥AD，

∴CG∥BE，

∴DG=EG=DE=﹣1，CG=BE=1，

∴△CDG的面積=DGCG= ﹣；

故答案為： -；

∵CG⊥CF，∠GCD=30°，

∴∠FCB=60°，

∵FB=FC，

∴△BCF是等邊三角形，

∴∠B=60°，CF=BF=AB，

∵AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，CF=AD，

∴∠A=60°，

∵AF=EF，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF=AB=AD，

∴CF=DE，

又∵CF∥AD，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

∵CF=EF，

∴四邊形EFCD是菱形；

故答案為：30°．