Question

9．如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4$\sqrt{2}$cm，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，作EF⊥AC交折線AB-BC于點(diǎn)F，以EF為邊向右作矩形EFNM，使EM=2EF．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段EF的長．
（2）求當(dāng)N落在BC上時(shí)，t的值．
（3）設(shè)矩形EFNM與三角形ABC重疊部分圖形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為A₁，點(diǎn)C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為C₁，以A₁C₁為邊做一正方形，使他與矩形EFNM在AC的同側(cè)，求這個(gè)正方形與矩形EFNM重疊部分圖形的面積為1cm²時(shí)，t的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)E在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，②當(dāng)E在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2；分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF的長；
（2）利用平行線截三角形成比例性質(zhì)列比例式，求出FN的長，利用等量關(guān)系式FN=2EF，列等式求t的值；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)0＜t≤$\frac{12}{5}$時(shí)，矩形EFNM與三角形ABC重疊部分圖形就是矩形；②當(dāng)$\frac{12}{5}$＜t≤4時(shí)，矩形EFNM與三角形ABC重疊部分圖形是五邊形，面積=矩形面積-三角形面積，如圖4；③當(dāng)4＜t≤12時(shí)，如圖2，重疊部分圖形是三角形，面積是矩形面積一半；
（4）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤$\frac{12}{5}$時(shí)，如圖5，重疊部分圖形為矩形FEA₁P；②當(dāng)$\frac{12}{5}$＜t≤12時(shí)，如圖6和圖7，重疊部分面積是正方形面積．

解答 解：（1）過B作BO⊥AC于O，
∵AB=4$\sqrt{2}$，∠A=45°，
∴AO=BO=4，
當(dāng)E在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，有AE=EF=t，
∴當(dāng)0＜t≤4時(shí)，EF=t，
當(dāng)E在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，有AE=t，EC=12-t，
∵△BOC∽△FEC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{BO}{CO}=\frac{4}{8}$，
∴$\frac{EF}{12-t}$=$\frac{1}{2}$，EF=-$\frac{1}{2}$t+6，
∴當(dāng)4＜t≤12時(shí)，EF=-$\frac{1}{2}$t+6，
綜上所述：①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，EF=t；
②當(dāng)4＜t≤12時(shí)，EF=-$\frac{1}{2}$t+6；
（2）如圖3，當(dāng)N落在BC上時(shí)，AE=EF=t，
∴AF=$\sqrt{2}$t，
∴BF=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵FN∥AC，
∴$\frac{FN}{AC}=\frac{BF}{AB}$，
∴$\frac{FN}{12}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}}$，
∴FN=-3t+12，
∵FN=2EF，
∴-3t+12=2t，t=$\frac{12}{5}$；
則當(dāng)N落在BC上時(shí)，t=$\frac{12}{5}$；
（3）①當(dāng)0＜t≤$\frac{12}{5}$時(shí)，S=S_矩形EFNM=2t²；
②當(dāng)$\frac{12}{5}$＜t≤4時(shí)，如圖4，則FG=-3t+12，F(xiàn)E=t，
∴NG=2t-（-3t+12）=5t-12，
∵DM∥AO，
∴$\frac{DM}{AO}=\frac{CM}{CO}$，
∴$\frac{DM}{4}=\frac{12-3t}{8}$，
∴DM=6-$\frac{3}{2}$t，DN=t-（6-$\frac{3}{2}$t）=$\frac{5}{2}$t-6，
∴S=S_矩形FEMN-S_△DGN=2t²-$\frac{1}{2}$（5t-12）（$\frac{5}{2}$t-6）=$-\frac{17}{4}$t²+30t-36；
③當(dāng)4＜t≤12時(shí)，如圖2，S=$\frac{1}{2}$S_矩形FEMN=t²；
（4）AA₁=2t，CC₁=2（12-3t）=24-6t；
①當(dāng)0＜t≤$\frac{12}{5}$時(shí)，如圖5，重疊部分圖形為矩形FEA₁P，
有A₁E=A₁A-AE=2t-t=t，
重疊部分面積S₁=A₁E•EF=t²；
②當(dāng)$\frac{12}{5}$＜t≤4時(shí)，重疊部分面積S₁=（AA₁+CC₁-12）²=（12-4t）²，
當(dāng)t=$\frac{13}{4}$或t=$\frac{11}{4}$時(shí)，S₁=1，
③當(dāng)4＜t≤12時(shí)，如圖7，點(diǎn)C與C₁重合，重疊部分面積仍然是正方形；
綜上所述：當(dāng)t=1或$\frac{13}{4}$或$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了相似形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理、函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解決這類綜合性的題目，主要是掌握各知識(shí)點(diǎn)間的相互聯(lián)系和分類討論思想的運(yùn)用；還要根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇合適的面積公式，求出結(jié)果，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．