Question

某公司有A型產品40件，B型產品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完．兩商店銷售這兩種產品每件的利潤（元）如下表：

	A型利潤	B型利潤
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）設分配給甲店A型產品x件，這家公司賣出這100件產品的總利潤為W（元），求W關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；

（2）若要求總利潤不低于17560元，有多少種不同分配方案，并將各種方案設計出來；

（3）為了促銷，公司決定僅對甲店A型產品讓利銷售，每件讓利a元，但讓利后A型產品的每件利潤仍高于甲店B型產品的每件利潤．甲店的B型產品以及乙店的A，B型產品的每件利潤不變，問該公司又如何設計分配方案，使總利潤達到最大？

Answer 1

解：依題意，分配給甲店A型產品x件，則甲店B型產品有（70-x）件，乙店A型有（40-x）件，B型有{30-（40-x）}件，則

（1）W=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=20x+16800．

由，解得10≤x≤40．

（2）由W=20x+16800≥17560，∴x≥38．

∴38≤x≤40，x=38，39，40．

∴有三種不同的分配方案．

方案一：x=38時，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；

方案二：x=39時，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；

方案三：x=40時，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．

（3）依題意：200-a＞170，即a＜30，

W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800，

（10≤x≤40）．

①當0＜a＜20時，20-a＞0，W隨x增大而增大，∴x=40，W有最大值，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使總利潤達到最大；

②當a=20時，10≤x≤40，W=16800，符合題意的各種方案，使總利潤都一樣；

③當20＜a＜30時，20-a＜0，W隨x增大而減小，∴x=10，W有最大值，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使總利潤達到最大．