Question

如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？

（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

 解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

x×1+12=2x，解得：x=12；

（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12-2t，

解得t=4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN．

                               

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，

如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16．故假設(shè)成立．

∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．