Question

4．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與C軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得∠PCB=∠BAC？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)G、H是二次函數(shù)圖象在x軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)G、H，使△AGH≌△ABH？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）先判斷出△PBC∽△CBA，得到$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BA}$，建立方程從而求得a即可；
（3）先判斷出符合要求的點(diǎn)G，即點(diǎn)G和點(diǎn)C重合，然后說(shuō)明△AGH≌△ABH即可．

解答 解：（1）令y=0，得，-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0，
∴x₁=1，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），
令x=0，得，y=3，
∴C（0，3）
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（a，0），使得∠PCB=∠BAC，
∵∠PCB=∠BAC，∠PBC=∠CBA，
∴△PBC∽△CBA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BA}$，
∵BC=$\sqrt{10}$，BA=5，
∴$\frac{1-a}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴a=-1，
∴存在點(diǎn)P（-1，0）；
（3）存在點(diǎn)G，H，使△AGH≌△ABH，
如圖，

∵A（-4，0），C（0，3），B（1，0）
∴AB=5，AC=5，
∴AB=AC，
故點(diǎn)C就是符合要求的一個(gè)點(diǎn)G，
作∠BAC的平分線交拋物線于點(diǎn)H，連接BH，CH（GH），
∴∠CAH=∠BAH，
∵AH=AH，
∴△AGH≌△ABH，
∴當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)C重合時(shí)，△AGH≌△ABH．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷三角形相似和全等．