【題目】如圖,以ABC的邊AB為直徑作⊙O,與BC交于點(diǎn)D,點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn),連接AEBC于點(diǎn)F,ACB=2BAE.

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)若,BD=5,求BF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)3.

【解析】試題分析:(1)連接AD,由圓周角定理得出∠1=2.證出∠C=BAD.由圓周角定理證出∠DAC+BAD=90°,得出∠BAC=90°,即可得出結(jié)論.

(2)過(guò)點(diǎn)FFGAB于點(diǎn)G.由三角函數(shù)得出sinB=,設(shè)AD=2m,則AB=3m,由勾股定理求出BD=m.求出m=.得出AD=2,AB=3.證出FG=FD.設(shè)BF=x,則FG=FD=5-x.由三角函數(shù)得出方程,解方程即可.

試題解析:(1)證明:連接AD.

E是弧BD的中點(diǎn),∴弧BE = ED,∴∠BAD=2BAE

∴∠ACB=BAD

AB為⊙O直徑, ∴∠ADB=90°,∴∠DAC+ACB =90°.

∴∠BAC =DAC+BAD =90°.

AC是⊙O的切線.

(2)解:過(guò)點(diǎn)FFGAB于點(diǎn)G.

∵∠BAE=DAE,ADB=90°,GF=DF.

RtBGF中,∠BGF=90°,

設(shè)BF=x,則GF=5-x,x=3,BF=3.

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