Question

【題目】在菱形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的位置變化而變化.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；

（2）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理）；

（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）結(jié)論仍然成立，理由：略；（3）

【解析】

（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出△BAP≌△CAE，再延長(zhǎng)交于， 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出；
（2）結(jié)論仍然成立．證明方法同（1）；
（3）根據(jù)（2）可知△BAP≌△CAE，根據(jù)勾股定理分別求出AP和EC的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題；

（1）如圖1中，結(jié)論：，.

理由：連接.

∵四邊形是菱形，，

∴，都是等邊三角形，，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∵，

∴，

，

∴，

∴，，

延長(zhǎng)交于，

∵，

∴，

∴，即.

故答案為，.

（2）結(jié)論仍然成立.

理由：選圖2，連接交于，設(shè)交于.

∵四邊形是菱形，，

∴，都是等邊三角形，，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴.

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即.

選圖3，連接交于，設(shè)交于.

∵四邊形ABCD是菱形，，

∴，都是等邊三角形，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴.

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，即.

（3），

由（2）可知，，

在菱形中，，

∴，

∵，，

在中，，

∴，

∵與是菱形的對(duì)角線，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

在中，，

∴.