【題目】已知,拋物線y=ax2+2ax+c與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,點A在點B左側(cè).點B的坐標為(1,0),OC=3OB.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當a>0時,如圖所示,若點D是第三象限方拋物線上的動點,設(shè)點D的橫坐標為m,三角形ADC的面積為S,求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量m的取值范圍;請問當m為何值時,S有最大值?最大值是多少.

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3y=x2+2x﹣3;(2) S=﹣(m2+3m)(﹣3m0);m=﹣時,S取最大值,最大值為.

【解析】

(1)根據(jù)點B的坐標及OC=3OB可得出點C的坐標,再根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)過點DDEx軸,交AC于點E,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、C的坐標,進而即可得出線段AC所在直線的解析式,由點D的橫坐標可找出點D、E的坐標,再利用三角形的面積公式即可得出Sm的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可找出S的最大值.

(1)∵點B的坐標為(1,0),OC=3OB,

∴點C的坐標為(0,3)或(0,﹣3),

將點B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,

解得: ,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3y=x2+2x﹣3.

(2)過點DDEx軸,交AC于點E,如圖所示.

a>0,

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3,

∴點C的坐標為(0,﹣3).

y=0時,有x2+2x﹣3=0,

解得:x1=﹣3,x2=1,

∴點A的坐標為(﹣3,0),

利用待定系數(shù)法可求出線段AC所在直線的解析式為y=﹣x﹣3.

∵點D的橫坐標為m,

∴點D的坐標為(m,m2+2m﹣3),點E的坐標為(m,﹣m﹣3),

DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,

S=DE×|﹣3﹣0|=﹣(m2+3m)(﹣3<m<0).

<0,且S=﹣(m2+3m)=﹣(m+2+,

∴當m=﹣時,S取最大值,最大值為

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