Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y= x﹣3交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B坐標為（﹣4，﹣5），點P為y軸左側的拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）以O，A，P，D為頂點的平行四邊形是否存在？如存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
（3）當點P運動到直線AB下方某一處時，過點P作PM⊥AB，垂足為M，連接PA使△PAM為等腰直角三角形，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y= x﹣3交于A、B兩點，其中點A在y軸上，

∴A（0，﹣3），

∵B（﹣4，﹣5），

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2+ x﹣3，

（2）

解：存在，

設P（m，m2+ m﹣3），（m＜0），

∴D（m， m﹣3），

∴PD=|m2+4m|

∵PD∥AO，

∴當PD=OA=3，故存在以O，A，P，D為頂點的平行四邊形，

∴|m2+4m|=3，

①當m2+4m=3時，

∴m1=﹣2﹣ ，m2=﹣2+ （舍），

∴m2+ m﹣3=﹣1﹣ ，

∴P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），

②當m2+4m=﹣3時，

∴m1=﹣1，m2=﹣3，

(i)m1=﹣1，

∴m2+ m﹣3=﹣ ，

∴P（﹣1，﹣ ），

(ii)m2=﹣3，

∴m2+ m﹣3=﹣ ，

∴P（﹣3，﹣ ），

∴點P的坐標為（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣ ），（﹣3，﹣ ）．

（3）

解：方法一，如圖，

∵△PAM為等腰直角三角形，

∴∠BAP=45°，

∵直線AP可以看做是直線AB繞點A逆時針旋轉45°所得，

設直線AP解析式為y=kx﹣3，

∵直線AB解析式為y= x﹣3，

∴k= =3，

∴直線AP解析式為y=3x﹣3，

聯立 ，

∴x1=0（舍）x2=﹣

當x=﹣ 時，y=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

方法二：如圖，

∵直線AB解析式為y= x﹣3，

∴直線AB與x軸的交點坐標為E（6，0），

過點A作AF⊥AB交x軸于點F，

∵A（0，﹣3），

∴直線AF解析式為y=﹣2x﹣3，

∴直線AF與x軸的交點為F（﹣ ，0），

∴AE=3 ，AF= ，

過點A作∠EAF的角平分線交x軸于點G，與拋物線相較于點P，過點P作PM⊥AB，

∴∠EAG=45°，

∴∠BAP=45°，

即：△PAM為等腰直角三角形．

設點G（m，0），

∴EG=6﹣m．FG=m+ ，

根據角平分線定理得， ，

∴ ，

∴m=1，

∴G（1，0），

∴直線AG解析式為y=3x﹣3①，

∵拋物線解析式為y=x2+ x﹣3②，

聯立①②得，x=0（舍）或x=﹣ ，

∴y=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）先確定出點A坐標，然后用待定系數法求拋物線解析式；（2）先確定出PD=|m2+4m|，當PD=OA=3，故存在以O，A，P，D為頂點的平行四邊形，得到|m2+4m|=3，分兩種情況進行討論計算即可；（3）由△PAM為等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，從而求出直線AP的解析式，最后求出直線AP和拋物線的交點坐標即可．