Question

【題目】如圖，P是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接EF，給出下列三個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接PC，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP＝PC，對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等可得EF＝PC，于是得到結(jié)論．

解：如圖，連接PC，在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，

∵在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，

又∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四邊形PECF是矩形，

∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，

∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正確；

只有點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)或PD＝AD時(shí)，△APD是等腰三角形，故②錯(cuò)誤；

故選：B．