【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點(diǎn)，連接BE．
（1）求證：四邊形BCDE為菱形；
（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．

【答案】
（1）證明：∵AD=2BC，E為AD的中點(diǎn)，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四邊形BCDE是菱形


（2）解：連接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，

∴AB=BC=1，

∵AD=2BC=2，

∴sin∠ADB= ，

∴∠ADB=30°，

∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，∵AD=2，

∴CD=1，AC= ．


【解析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；（2）在Rt△只要證明∠ADC=60°，AD=2即可解決問題；
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可以解答此題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知：AE是△ABC的外角∠CAD的平分線．

（1）若AE∥BC，如圖1，試說明∠B＝∠C；

（2）若AE交BC的延長線于點(diǎn)E，如圖2，直接寫出反應(yīng)∠B、∠ACB、∠AEC之間關(guān)系的等式．

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【題目】在2016年“雙十一”期間，某快遞公司計(jì)劃租用甲、乙兩種車輛快遞貨物，從貨物量來計(jì)算：若租用兩種車輛合運(yùn)，10天可以完成任務(wù)；若單獨(dú)租用乙種車輛，完成任務(wù)的天數(shù)是單獨(dú)租用甲種車輛完成任務(wù)天數(shù)的2倍．

(1)求甲、乙兩種車輛單獨(dú)完成任務(wù)分別需要多少天？

(2)已知租用甲、乙兩種車輛合運(yùn)需租金65000元，甲種車輛每天的租金比乙種車輛每天的租金多1500元，試問：租甲和乙兩種車輛、單獨(dú)租甲種車輛、單獨(dú)租乙種車輛這三種租車方案中，哪一種租金最少？請(qǐng)說明理由．

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【題目】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上高，若AD=16，CD=12，BD=9．

（1）求△ABC的周長；

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【題目】如圖，已知AB∥CD，∠1=∠2，CF平分∠DCE．

（1）試判斷直線AC與BD有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由；

（2）若∠1=80°，求∠3的度數(shù)．

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【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長線上一點(diǎn)，且PD⊥AD．
（1）證明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．

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【題目】如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點(diǎn)F，E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的長．

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【題目】如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求證：

（1）△AEH≌△CGF；
（2）四邊形EFGH是菱形．

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