Question

【題目】某課題研究小組就圖形面積問題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論： ①有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于這條邊上的對(duì)應(yīng)高之比；
②有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；
…
現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)下面問題進(jìn)行探究，探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論．（S表示面積）

問題1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P1 ， P2三等分邊AB，R1 ， R2三等分邊AC．經(jīng)探究知 = S△ABC ， 請(qǐng)證明．
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1 ， Q2三等分邊DC．請(qǐng)?zhí)骄? 與S四邊形ABCD之間的數(shù)量關(guān)系．
問題3：如圖3，P1 ， P2 ， P3 ， P4五等分邊AB，Q1 ， Q2 ， Q3 ， Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求 ．
問題4：如圖4，P1 ， P2 ， P3四等分邊AB，Q1 ， Q2 ， Q3四等分邊DC，P1Q1 ， P2Q2 ， P3Q3將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S1 ， S2 ， S3 ， S4 ． 請(qǐng)直接寫出含有S1 ， S2 ， S3 ， S4的一個(gè)等式．

Answer 1

【答案】解：?jiǎn)栴}1，證明： 如圖1，連接P1R2 ， R2B，在△AP1R2中，∵P1R1為中線，∴S△AP1R1=S△P1R1R2 ，
同理S△P1R2P2=S△P2R2B ，
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2= S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1 ，
由R1 ， R2為AC的三等分點(diǎn)可知，S△BCR2= S△ABR2 ，
∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1+2S四邊形P1P2R2R1=3S四邊形P1P2R2R1 ，
∴S四邊形P1P2R2R1= S△ABC；
問題2，S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2 ．
理由：如圖2，連接AQ1 ， Q1P2 ， P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1為中線，
∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2 ， 同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C ，
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2= S四邊形AQ1CP2=S四邊形P1Q1Q2P2 ，
由Q1 ， P2為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，S△ADQ1= S△AQ1C ， S△BCP2= S△AP2C ，
∴S△ADQ1+S△BCP2= （S△AQ1C+S△AP2C）= S四邊形AQ1CP2 ，
∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四邊形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四邊形P1Q1Q2P2 ，
即S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2；
問題3，解：
如圖3，由問題2的結(jié)論可知，3S2=S1+S2+S3 ， 即2S2=S1+S3 ， 同理得2S3=S2+S4 ， 2S4=S3+S5 ，
三式相加得，S2+S4=S1+S5 ，
∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3 ，

即S四邊形P2Q2Q3P3= S四邊形ABCD= ；
問題4，如圖4，關(guān)系式為：S2+S3=S1+S4
【解析】問題1，圖1中，連接P1R2 ， R2B，由三角形中線的性質(zhì)得S△AP1R1=S△P1R1R2 ， S△P1R2P2=S△P2R2B ， 再由R1 ， R2為AC的三等分點(diǎn)，得S△BCR2= S△ABR2 ， 根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S△ABC與S四邊形P1P2R2R1的數(shù)量關(guān)系，證明結(jié)論； 問題2，圖2中，連接AQ1 ， Q1P2 ， P2C，由三角形的中線性質(zhì)，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2 ， S△P2Q1Q2=S△P2Q2C ， 由Q1 ， P2為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，S△ADQ1= S△AQ1C ， S△BCP2= S△AP2C ， 得出S△ADQ1+S△BCP2與S四邊形AQ1CP2的關(guān)系，再根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S四邊形ABCD與S四邊形P1Q1Q2P2的等量關(guān)系；
問題3，圖3中，依次設(shè)四邊形的面積為S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， S5 ， 由問題2的結(jié)論可推出2S2=S1+S3 ， 2S3=S2+S4 ， 2S4=S3+S5 ， 三式相加，得S2+S4=S1+S5 ， 利用換元法求S1+S2+S3+S4+S5與S3的數(shù)量關(guān)系，已知S四邊形ABCD=1，可求S四邊形P2Q2Q3P3；
問題4，圖4中，由問題2的結(jié)論可知，2S2=S1+S3 ， 2S3=S2+S4 ， 兩式相加得S1 ， S2 ， S3 ， S4的等量關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的面積=1/2×底×高．