Question

如圖，拋物線y=

3

3

(x2+3x-4)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求點A、點C的坐標；
（2）求點O到AC的距離；
（3）若點P為拋物線上一點，以2為半徑作⊙P，當⊙P與直線AC相切時，求點P的橫坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：代數幾何綜合題

分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程，即可得到點A的坐標，令x=0，求出y的值，即可得到點C的坐標；
（2）利用勾股定理列式求出AC的長度，再根據△AOC的面積，列式求解即可得到點O到AC的距離；
（3）利用待定系數法求出直線AC的解析式，再根據點O到AC的距離為2可知點P在過點O與AC平行的直線上，求出直線PO的解析式，再與拋物線解析式聯立消掉y，解關于x的一元二次方程即可得到點P的橫坐標．

解答：解：（1）令y=0，則

3

3

（x²+3x-4）=0，
整理得，x²+3x-4=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
所以，點A的坐標為（-4，0），
令x=0，則y=-4×

3

3

=-

4 3

3

，
所以，點C的坐標為（0，-

4 3

3

）；

（2）∵點A（-4，0），C（0，-

4 3

3

），
∴OA=4，OC=

4 3

3

，
根據勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

，
設點O到AC的距離為h，
則S_△AOC=

1

2

OA•OC=

1

2

AC•h，
即

1

2

×4×

4 3

3

=

1

2

×

8 3

3

h，
解得h=2，
所以，點O到AC的距離為2；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵直線經過點A（-4，0），C（0，-

4 3

3

），
∴

-4k+b=0 b=- 4 3 3

，
解得

k=- 3 3 b=- 4 3 3

，
∴直線AC的解析式為y=-

3

3

x-

4 3

3

，
∵點O到AC的距離為2，
∴點P在過點O與AC平行的直線y=-

3

3

x上，
聯立

y= 3 3 (x2+3x-4) y=- 3 3 x

，
消掉未知數y得，

3

3

（x²+3x-4）=-

3

3

x，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2-2

2

，x₂=-2+2

2

，
所以，點P的橫坐標為：-2-2

2

或-2+2

2

．

點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要利用了拋物線與坐標軸的交點的求解，待定系數法求一次函數解析式，勾股定理的應用，三角形的面積，聯立兩函數解析式求交點坐標，（3）判斷出點P在過點O與AC平行的直線上是解題的關鍵．