Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3）．動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，，2（長度單位/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設(shè)動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．
請解答下列問題：
（1）過A，B兩點的直線解析式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)；
（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；
（3）①此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據(jù)對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
②當t﹦2時，可求的點P的坐標，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．
解答：解：（1）y=-x+3；（4分）

（2）（0，），t=；（4分）（各2分）

（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=t，∠A=60°，∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=t
由3-t=t得t=；（1分）
當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；
當點P在線段BA上時，
過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=t，∴BE=3-t，∴EF==3-
∴MP=EH=EF=，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•=，解得t=．（1分）
綜上所述，t為或時，四邊形PEP'F為菱形．

②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
將△BEP繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點B'在直線EF上，
∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO-PO長度
∴C點坐標為（-，-1）
過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，
則△FEQ∽△B'EC
由===，可得Q的坐標為（-，）（1分）
根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點Q'（-，）也符合條件．（1分）
點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了菱形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．