Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（I）如圖，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC．

求證：（1）△BAD≌△CAE；

（2）BC＝DC+EC．

（Ⅱ）如圖，D為△ABC外一點，且∠ADC＝45°，仍將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，ED．

（1）△BAD≌△CAE的結論是否仍然成立？并請你說明理由；

（2）若BD＝9，CD＝3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（I）（1）見解析；（2）見解析；（Ⅱ）（1）仍然成立；理由見解析（2）若AD＝6．

【解析】

（Ⅰ）（1）根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質即可得到結論；

（Ⅱ）（1）根據全等三角形的判定定理即可得到△BAD≌△CAE；

（2）根據全等三角形的性質得到BD＝CE＝9，根據勾股定理計算即可．

解：（Ⅰ）（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）∵△BAD≌△CAE

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝EC+CD；

（Ⅱ）（1）△BAD≌△CAE的結論仍然成立，

理由：∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝AD，

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD與△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）∵△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE＝9，

∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∴DE＝＝6，

∵∠DAE＝90°，

∴AD＝AE＝DE＝6．