【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)CE并將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF,連結(jié)DF,以CE、CF為鄰邊作矩形CFGE,GEAD、AC分別交于點(diǎn)H、M,GFCD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N

1)證明:點(diǎn)A、D、F在同一條直線上;

2)隨著點(diǎn)E的移動(dòng),線段DH是否有最小值?若有,求出最小值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)連結(jié)EF、MN,當(dāng)MNEF時(shí),求AE的長(zhǎng).

【答案】1)見解析;(2)有最小值,DH的最小值為;(3AE= 2

【解析】

1)要證明點(diǎn)A、D、F在同一條直線上,只需證明∠CDF+CDA=180°即可.根據(jù)題中的已知條件很容易證明△DCF≌△BCE,則∠CDF=B=90°,結(jié)論可證.

2)設(shè)AE=x,DH=y,通過(guò)已知條件證明△ECBHEA,利用相似三角形的性質(zhì)可知,即可得到一個(gè)yx的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的最值可求出線段DH的最小值.

3)利用矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可證明△CFN≌△CEM,進(jìn)而推出∠FCN=ECM=BCE=22.5°.BC上取一點(diǎn)K,使得KC=KE,則BKE是等腰直角三角形,設(shè)BE=BK=a,則KC=KE=a,利用求出a的值,從而利用即可求AE的長(zhǎng).

1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

CD=CB,∠BCD=B=ADC=90°

CE=CF,∠ECF=90°

∴∠ECF=DCB,

∴∠DCF=BCE,

∴△DCF≌△BCE,

∴∠CDF=B=90°,

∴∠CDF+CDA=180°,

∴點(diǎn)A、D、F在同一條直線上.

2)解:有最小值.

理由:設(shè)AE=x,DH=y,則AH=1-y,BE=1-x,

∵四邊形CFGE是矩形,

∴∠CEG=90°,

∴∠CEB+AEH=90°

CEB+ECB=90°,

∴∠ECB=AEH,

∵∠B=EAH=90°

∴△ECBHEA,

a=10,

∴當(dāng)時(shí),y有最小值,最小值為,

DH的最小值為

3)解:∵四邊形CFGE是矩形,CF=CE,

∴四邊形CFGE是正方形,

GF=GE,∠GFE=GEF=45°,

NMEF

∴∠GNM=GFE,∠GMN=GEF,

∴∠GMN=GNM

GN=GM,

FN=EM,

CF=CE,∠CFN=CEM

∴△CFN≌△CEM,

∴∠FCN=ECM,

∵∠MCN=45°,

∴∠FCN=ECM=BCE=22.5°

BC上取一點(diǎn)K,使得KC=KE

∴△BKE是等腰直角三角形

設(shè)BE=BK=a,則KC=KE=a,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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日期

41

42

43

44

45

46

步行數(shù)(步)

10672

4927

5543

6648

步行距離(公里)

6.8

3.1

3.4

4.3

卡路里消耗(千卡)

157

79

91

127

燃燒脂肪(克)

20

10

12

16

1)請(qǐng)你將手環(huán)記錄的45日和46日的數(shù)據(jù)(如圖①)填入表格

2)請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖②)補(bǔ)充完整

3)張老師這6天平均每天步行約______公里,張老師分析發(fā)現(xiàn)每天步行距離和消耗的卡路里近似成正比例關(guān)系,她打算每天消耗的卡路里至少達(dá)到100千卡,那么每天步行距離大約至少為______公里(精確到0.1公里)

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銷售量

200

170

130

80

50

40

人數(shù)

1

1

2

5

3

2

1)該公司營(yíng)銷員銷售該品牌電腦的月銷售平均數(shù)是 臺(tái),中位數(shù)是 臺(tái),眾數(shù)是 臺(tái).

2)銷售部經(jīng)理把每位營(yíng)銷員月銷售量定為90臺(tái),你認(rèn)為是否合理?說(shuō)明理由.

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借閱圖書的次數(shù)

0

1

2

3

4次及以上

人數(shù)

7

13

a

10

3

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息,解答下列問(wèn)題:

______,______.

該調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______,眾數(shù)是______.

請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“3所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);

若該校共有2000名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上的人數(shù).

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2)求的度數(shù);

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