【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.
填空:
①∠AEB的度數(shù)為 ;
②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題
如圖3,在正方形ABCD中,CD=3,若點P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.
【答案】(1)①60°;②AD=BE;(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM,理由見解析;(3)或
【解析】
(1)由條件易證△ACD≌△BCE,從而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由點A,D,E在同一直線上可求出∠ADC,從而可以求出∠AEB的度數(shù).
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù),證出AD=BE;由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到AE=2CH+BE.
(3)由PD=1可得:點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上;由∠BPD=90°可得:點P在以BD為直徑的圓上.顯然,點P是這兩個圓的交點,由于兩圓有兩個交點,接下來需對兩個位置分別進(jìn)行討論.然后,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,借助于(2)中的結(jié)論即可解決問題.
(1)∠ACB=∠DCE,∠DCB=∠DCB
∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
AD=BE,∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°
∠AEB=∠CEB-∠CED=60°.
②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.答案為:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如圖 2,
∵△ACB 和△DCE 均為等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中,
∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE 為等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.
∵點 A,D,E 在同一直線上,∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)點A到BP的距離為或
理由如下:
∵PD=1,
∴點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上。
∵∠BPD=90,
∴點P在以BD為直徑的圓上。
∴點P是這兩圓的交點。
①當(dāng)點P在如圖3①所示位置時,
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過點A作AE⊥AP,交BP于點E,如圖3①。
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45.AB=AD=DC=BC=3,∠BAD=90.
∴BD=2.
∵DP=1,
∴BP=.
∵∠BPD=∠BAD=90,
∴A、P、D. B在以BD為直徑的圓上,
∴∠APB=∠ADB=45.
∴△PAE是等腰直角三角形。
又∵△BAD是等腰直角三角形,點B. E. P共線,AH⊥BP,
∴由(2)中的結(jié)論可得:BP=2AH+PD.
∴=2AH+1.
∴AH= .
②當(dāng)點P在如圖3②所示位置時,
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過點A作AE⊥AP,交PB的延長線于點E,如圖3②。
同理可得:BP=2AHPD.
∴=2AH1.
∴AH=.
綜上所述:點A到BP的距離為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A(﹣2,0),B(0,1),以線段AB為邊在第二象限作矩形ABCD,雙曲線y=(k<0)過點D,連接BD,若四邊形OADB的面積為6,則k的值是( )
A.﹣9B.﹣12C.﹣16D.﹣18
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,2),B(1,﹣1),C(2,2),拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過△ABC區(qū)域(包括邊界),則a的取值范圍是( 。
A.a≤﹣1或a≥2B.≤a≤2
C.﹣1≤a<0或1<a≤D.﹣1≤a<0或0<a≤2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組為了了解本校男生參加課外體育鍛煉情況,隨機抽取本校300名男生進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計整理并繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)課外體育鍛煉情況扇形統(tǒng)計圖中,“經(jīng)常參加”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為________;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校共有1200名男生,請估計全校男生中經(jīng)常參加課外體育鍛煉并且最喜歡的項目是籃球的人數(shù);
(4)小明認(rèn)為“全校所有男生中,課外最喜歡參加的運動項目是乒乓球的人數(shù)約為1200×=108”,請你判斷這種說法是否正確,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十八大以來,某校已舉辦五屆校園藝術(shù)節(jié).為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,每屆藝術(shù)節(jié)上都有一些班級表演“經(jīng)典誦讀”、“民樂演奏”、“歌曲聯(lián)唱”、“民族舞蹈”等節(jié)目.小穎對每屆藝術(shù)節(jié)表演這些節(jié)目的班級數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制了如圖所示不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
(1)五屆藝術(shù)節(jié)共有________個班級表演這些節(jié)日,班數(shù)的中位數(shù)為________,在扇形統(tǒng)計圖中,第四屆班級數(shù)的扇形圓心角的度數(shù)為________;
(2)補全折線統(tǒng)計圖;
(3)第六屆藝術(shù)節(jié),某班決定從這四項藝術(shù)形式中任選兩項表演(“經(jīng)典誦讀”、“民樂演奏”、“歌曲聯(lián)唱”、“民族舞蹈”分別用,,,表示).利用樹狀圖或表格求出該班選擇和兩項的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與軸、軸分別交于、兩點,拋物線經(jīng)過、兩點,與軸的另一個交點為,且.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點在上,點在的延長線上,且,連接交于點,點為第一象限內(nèi)的一點,當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時,連接,設(shè)的長度為,的面積為,請用含的式子表示,并寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,連接、,將沿翻折到的位置(與對應(yīng)),若,求點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三角形ABC中,點D、E分別在AC、AB上,且,AE=BE,則有( )
A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,點O是AC邊上的一個動點,過點O作直線,設(shè)MN交的角平分線于點E,交的外角平分線于點F.
求證:;
當(dāng)點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?請說明理由;
在的條件下,給再添加一個條件,使四邊形AECF是正方形,那么添加的條件是______.
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