Question

如圖，在?ABDC中，分別取AC、BD的中點(diǎn)E和F，連接BE、CF，過點(diǎn)A作AP∥BC，交DC的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）當(dāng)∠P滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠BAC=∠D，對(duì)邊相等可得AB=CD，AC=BD，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出AE=DF，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）∠P=90°時(shí)，四邊形BECF是菱形．先判斷出四邊形ABCP是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠ABC=∠P，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=CE，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BECF是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．

解答：（1）證明：在?ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，
∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，
∴AE=DF，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAC=∠D AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）解：∠P=90°時(shí)，四邊形BECF是菱形．理由如下：
在?ABCD中，AB∥CD，
∵AP∥BC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∴∠ABC=∠P=90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=

1

2

AC，
∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，
∴BF=CE，
又∵AC∥BD，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∴四邊形BECF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．