Question

【題目】某商家銷售一種商品，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，每天的銷量y（件）與當(dāng)天的銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，并且當(dāng)x＝30時(shí)，y＝500；當(dāng)x＝35時(shí)，y＝450．物價(jià)部門規(guī)定，該商品的銷售單價(jià)不能超過(guò)48元/件，若該商品的定價(jià)為30元，實(shí)際按定價(jià)的8折出售，仍然可以獲得20%的利潤(rùn)．

（1）求該商品的成本價(jià)和每天獲得的最大利潤(rùn)；

（2）該公司每天需要人工、水電和房租支出共計(jì)b元，若考慮這一因素后公司對(duì)最大利潤(rùn)要控制在8000元至8500元之間（包含8000和8500），求出b的取值范圍；

（3）若該商品的進(jìn)價(jià)改為a元，每天的銷量與當(dāng)天的銷售單價(jià)的關(guān)系不變，當(dāng)30≤x≤48時(shí)，該商品利潤(rùn)隨x的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）該商品的成本價(jià)為20元，每天獲得的最大利潤(rùn)為8960元；（2）500≤b≤1000；（3）0≤a≤16．

【解析】

(1)根據(jù)利潤(rùn)=利潤(rùn)率×成本，總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量列式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)(1)所得總利潤(rùn)﹣b，控制在8000元至8500元之間，即可求出b的取值范圍；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)30≤x≤48時(shí)，即在對(duì)稱軸左側(cè)，該商品利潤(rùn)隨x的增大而增大，即可確定a的取值范圍．

(1)設(shè)每天的銷量y(件)與當(dāng)天的銷售單價(jià)x(元/件)滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為：

y=kx+b，

當(dāng)x=30時(shí)，y=500；當(dāng)x=35時(shí)，y=450代入得：

k=﹣10，b=800，

∴一次函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣10x+800；

設(shè)該商品的成本價(jià)為a元，根據(jù)題意，得：

解得：a=20．

設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意，得

∵﹣10＜0，銷售單價(jià)不能超過(guò)48元/件，

即x≤48時(shí)，w隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=48時(shí)，w有最大值，最大值為8960．

答：該商品的成本價(jià)為20元，每天獲得的最大利潤(rùn)為8960元；

(2)∵該公司每天需要人工、水電和房租支出共計(jì)b元，

最大利潤(rùn)要控制在8000元至8500元之間，

∴8000≤9000﹣b≤8500

∴500≤b≤1000．

(3)根據(jù)題意，得

w=(x﹣a)(﹣10x+800)

=﹣10x2+(800+10a)x﹣800a

∵當(dāng)30≤x≤48時(shí)，該商品利潤(rùn)隨x的增大而增大，

對(duì)稱軸

∴≤48

解得：a≤16

∴a的取值范圍是：0≤a≤16．