Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是BC的中點，CE⊥AD，垂足為點E，BF∥AC交CE的延長線于點F，求證：
（1）AC=2BF；
（2）AB垂直平分DF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠CDA=∠F，即可證明△ACD≌△CBF，可得CD=BF，易證AC=2CD，即可解題；
（2）連接DF交AB于G點，易證BD=BF，∠ABC=45°，根據(jù)△ACD≌△CBF，可求得∠ABF=45°，即可證明∴△DBG≌△FBG，可得DG=FG，∠DGB=∠FGB，即可求得∠DGB=∠FGB=90°，即可解題．

解答：證明：（1）∵BF∥AC，
∴BC⊥BF，
∵∠DCE+∠F=90°，∠DCE+∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠F，
在△ACD和△CBF中，

∠CDA=∠F ∠ACD=∠CBF=90° AC=BC

，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CD=BF，
∵點D是BC的中點，
∴AC=BC=2CD，
∴AC=2BF；
（2）連接DF交AB于G點，

∵點D是BC的中點，
∴AC=2BD，
∵AC=2BF，
∴BD=BF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠CBF=∠ACD=90°，
∴∠ABF=45°，
在△DBG和△FBG中，

BD=BF ∠ABD=∠ABF=45° BG=BG

，
∴△DBG≌△FBG（SAS），
∴DG=FG，∠DGB=∠FGB，
∵∠DGB+∠FGB=180°，
∴∠DGB=∠FGB=90°，
∴AB垂直平分DF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△CBF和△DBG≌△FBG是解題的關(guān)鍵．