【題目】已知,把RtABCRtDEF按圖1擺放,(點CE點重合),點B、CE、F始終在同一條直線上,∠ACB=EDF=90°,∠DEF=45°AC=8,BC=6,EF=10,如圖2DEF從圖1出發(fā),以每秒1個單位的速度沿CBABC勻速運動,同時,點PA出發(fā),沿AB以每秒1個單位向點B勻速移動,ACDEF的直角邊相交于Q,當P到達終點B時,DEF同時停止運動,連接PQ,設(shè)移動的時間為ts).解答下列問題:

(1)DEF在平移的過程中,當點DRtABC的邊AC上時,求t的值;

(2)在移動過程中,是否存在APQ為等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

(3)在移動過程中,當0t≤5時,連接PE,是否存在PQE為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

【答案】(1)t=5;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可;(2)AP=AQ,求出即可;②AP=PQ,作PHACH,根據(jù)相似得出比例式,即可求出答案;③AQ=PQ,作PHACH,根據(jù)相似得出比例式,④當5t10時,AQ=PQ,作PHBC,PGAC,利用相似與勾股定理,即可求出答案;(3)分為三種情況,①∠PQE=90°,②∠PEQ=90°,③∠EPQ=90°,根據(jù)勾股定理得出方程,求出方程的解,看是否滿足小于10即可.

(1)DAC上時,

DE=DF,

EC=CF=EF=5

t=5

(2)存在.

AP=t,∠EDF=90°,∠DEF=45°,

∴∠CQE=45°=DEF,

CQ=CE=t,

AQ=8t,

0≤t5時,

AP=AQ,

t=8t

t=4;

AP=PQ,

PHACH,

AH=HQ=AQ=4t,

PHBC,

∴△APH∽△ABC,

,

,

t=;

AQ=PQ

QIABI,

AI=PI=AP=t(等腰三角形的性質(zhì)三線合一),

∵∠AIQ=ACB=90°,∠A=A,

∴△AIQ∽△ACB,

,

t=,

④當5≤t≤10時,AQ=PQ,作PHBC,PGAC,連接PQ

同理可求出:

FC=QC=10t,BP=10t,

PH=10t=8t,

BH=10t=6t

QG=QCGC=QCPH=10t﹣(8t=2,

PG=HC=6﹣(6t=t,

PQ=AQ=8﹣(10t=t2

PQ 2=PG 2+QG 2,

t22=t 2+2 2,

解得:t=秒,

其它情況不符合要求,

綜合上述:當t等于4秒、秒、秒、秒時APQ是等腰三角形.

(3)PWACW,PHBCH

由勾股定理:CE=CQ=t,

∵sinA===,cosA===

∴PW=t,AW=t,

∴QW=8tt=8t

∴PQ2=PM2+QW2=t2+8t2=t2t+64,

PE2=PH2+EH2=t+8t2+tt2=t2t+64,

QE2=2t2

①∠PQE=90°,

Rt△PEQ

PQ2+QE2=PE2

t2t+64+2t2=t2t+64,

解得:t1=0(舍去),t2=

②∠PEQ=90°,

PE2+EQ2=PQ2

t2t+64+2t2=t2t+64

解得:t1=0(舍去),t2=20(舍去)

∴此時不存在;

∠EPQ=90°

PQ2+PE2=EQ2,

t2t+64+t2t+64=2t2

t1=(舍去),t2=4,

綜合上述:當t=t=4時,△PQE是直角三角形.

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