【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E是AD上的一個動點,連接BE,作點A關(guān)于BE的對稱點F,且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部,連結(jié)AF,BF,EF,過點F作GF⊥AF交AD于點G,設(shè) =n.
(1)求證:AE=GE;
(2)當(dāng)點F落在AC上時,用含n的代數(shù)式表示 的值;
(3)若AD=4AB,且以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形,求n的值.
【答案】
(1)
證明:由對稱得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,
∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,
∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF.
∴AE=EG.
(2)
解:設(shè)AE=a,則AD=na,
當(dāng)點F落在AC上時(如圖1),
由對稱得BE⊥AF,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠DAC+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠DAC,
又∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE~△DAC ,
∴
∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,
∵AB>0,∴AB= .
∴ .
(3)
解:設(shè)AE=a,則AD=na,由AD=4AB,則AB= .
當(dāng)點F落在線段BC上時(如圖2),EF=AE=AB=a,
此時 ,∴n=4.
∴當(dāng)點F落在矩形外部時,n>4.
∵點F落在矩形的內(nèi)部,點G在AD上,
∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,
若∠CFG=90°,則點F落在AC上,由(2)得 ,∴n=16.
若∠CGF=90°(如圖3),則∠CGD+∠AGF=90°,
∵∠FAG+∠AGF=90°,
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE~△DGC,
∴ ,
∴AB·DC=DG·AE,即( )2=(n-2)a·a.
解得 或 (不合題意,舍去),
∴當(dāng)n=16或 時,以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形.
【解析】(1)因為GF⊥AF,由對稱易得AE=EF,則由直角三角形的兩個銳角的和為90度,且等邊對等角,即可證明E是AG的中點;(2)可設(shè)AE=a,則AD=na,即需要用n或a表示出AB,由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°,可證明△ABE~△DAC , 則 ,因為AB=DC,且DA,AE已知表示出來了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形時的n,需要分類討論,一般分三個,∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根據(jù)點F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進行分析解答.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖1,點A、O、B依次在直線MN上,現(xiàn)將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn),同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn),如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t(0秒≤t≤90秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù).
(2)在運動過程中,當(dāng)∠AOB第二次達到60°時,求t的值.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t,使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角(指大于0°而不超過180°的角)的平分線?如果存在,請直接寫出t的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=cm,∠BAC=120°,點P在BC上從C向B運動,點Q在AB、AC上沿B→A→C運動,點P、Q分別從點C、B同時出發(fā),速度均為1cm/s,當(dāng)其中一點到達終點時兩點同時停止運動,則當(dāng)運動時間t=_____s時,△PAQ為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖1所示.在圖2中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJ//AB,則正方形EFGH的邊長為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高學(xué)生書寫漢字的能力.增強保護漢字的意識,我區(qū)舉辦了“漢字聽寫大賽”,經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參加決賽,這50名學(xué)生同時聽寫50個漢字,若每正確聽寫出一個漢字得1分,根據(jù)測試成績繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖表:
組別 | 成績x分 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第1組 | 25≤x<30 | 4 |
第2組 | 30≤x<35 | 6 |
第3組 | 35≤x<40 | 14 |
第4組 | 40≤x<45 | a |
第5組 | 45≤x<50 | 10 |
請結(jié)合圖表完成下列各題:
(1)求表中a的值;
(2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)若測試成績不低于40分為優(yōu)秀,則本次測試的優(yōu)秀率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線的解析表達式為,且與軸交于點.直線經(jīng)過點、,直線,交于點.
(1)求點的坐標;
(2)求直線的解析表達式;
(3)求的面積;
(4)在直線上存在異于點的另一個點,使得與的面積相等,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有三個點A、B、C,完成系列問題:
(1)將點B向右移動六個單位長度到點D,在數(shù)軸上表示出點D.
(2)在數(shù)軸上找到點E,使點E到A、C兩點的距離相等.并在數(shù)軸上標出點E表示的數(shù).
(3)在數(shù)軸上有一點F,滿足點F到點A與點F到點C的距離和是9,則點F表示的數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG.
(1)求證:△ABG≌△AFG;(2)求BG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點C落在斜邊AB上的點E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.
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