Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC為邊在△ABC外作正△ACD，則BD的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,勾股定理

專題：

分析：以AB為邊作等邊三角形AEB，連接CE，如圖所示，由三角形ABE與三角形ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形EAC與三角形BAD全等，利用余弦定理求出EC的長就是BD的長．

解答：解：以AB為邊作等邊三角形AEB，連接CE，如圖所示，

∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，

AE=AB ∠EAC=∠BAD AD=AC

，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC，
∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
在△EBC中，BC=5，EB=3，
用余弦定理得：EC²=3²+5²-2×3×5×COS120°=49，
∴BD=EC=7．
故答案為：7．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及余弦定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．