Question

如圖1，拋物線y=-

3

16

x²平移后過點(diǎn)A（8，0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C，與原拋物線相交于點(diǎn)D．
（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積S_陰影；
（2）如圖2，直線AB與y軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，∠PMN為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N，設(shè)OM=t，試探究：
①t為何值時(shí)△MAN為等腰三角形；
②t為何值時(shí)線段PN的長(zhǎng)度最小，最小長(zhǎng)度是多少．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,根的判別式,勾股定理的應(yīng)用,相似三角形的應(yīng)用

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-

3

16

x²+bx，將點(diǎn)A（8，0）代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得平移后拋物線的解析式，再根據(jù)割補(bǔ)法由三角形面積公式即可求解；
（2）作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q．
①分當(dāng)MN=AN時(shí)，當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)MN=MA時(shí)，三種情況討論可得△MAN為等腰三角形時(shí)t的值；
②方法一：作PN的中點(diǎn)E，連接EM，則EM=PE=

1

2

PN，當(dāng)EM垂直于x軸且M為OQ中點(diǎn)時(shí)PN最小，此時(shí)t=3，PN取最小值為

15

2

．
方法二：由MN所在直線方程為y=

t

6

x-

t2

6

，與直線AB的解析式y(tǒng)=-

3

4

x+6聯(lián)立，得x_N的最小值為6，此時(shí)t=3，PN取最小值為

15

2

．

解答：解：（1）設(shè)平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-

3

16

x²+bx，
將點(diǎn)A（8，0）代入，
得y=-

3

16

x2+

3

2

x，
頂點(diǎn)B（4，3），
S_陰影=OC×CB=4×3=12．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（8，0），B（4，3）代入得：
直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6，
作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，
①當(dāng)MN=AN時(shí)，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

8+t

2

，縱坐標(biāo)為

24-3t

8

，
由△NQM和△MOP相似可知

NQ

OM

=

MQ

OP

，

24-3t 8

t

=

8-t 2

6

，
解得t₁=

9

2

，t₂=8（舍去）．
當(dāng)AM=AN時(shí)，AN=8-t，
由△ANQ和△APO相似可知NQ=

3

5

（8-t），AQ=

4

5

（8-t），MQ=

8-t

5

，
由△NQM和△MOP相似可知

NQ

OM

=

MQ

OP

得：

3 5 (8-t)

t

=

8-t 5

6

，
解得：t=18（舍去）．
當(dāng)MN=MA時(shí)，∠MNA=∠MAN＜45°，
故∠AMN是鈍角，顯然不成立，故t=

9

2

．
②方法一：作PN的中點(diǎn)E，連接EM，則EM=PE=

1

2

PN，
當(dāng)EM垂直于x軸且M為OQ中點(diǎn)時(shí)PN最小，
此時(shí)t=3，證明如下：
假設(shè)t=3時(shí)M記為M₀，E記為E₀
若M不在M₀處，即M在M₀左側(cè)或右側(cè)，
若E在E₀左側(cè)或者E在E₀處，則EM一定大于E₀M₀，而PE卻小于PE₀，這與EM=PE矛盾，
故E在E₀右側(cè)，則PE大于PE₀，相應(yīng)PN也會(huì)增大，
故若M不在M₀處時(shí)PN大于M₀處的PN的值，
故當(dāng)t=3時(shí)，MQ=3，NQ=

3

2

，
根據(jù)勾股定理可求出PM=3

5

與MN=

3

2

5

，PN=

15

2

．
故當(dāng)t=3時(shí)，PN取最小值為

15

2

．
方法二：由MN所在直線方程為y=

t

6

x-

t2

6

，
與直線AB的解析式y(tǒng)=-

3

4

x+6聯(lián)立，
得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x_N=

72+2t2

9+2t

，
即t²-x_Nt+36-

9

2

x_N=0，
△=x²_N-4（36-

9

2

xN）=0，
得x_N=6或x_N=-24，
又因?yàn)?＜x_N＜8，
所以x_N的最小值為6，此時(shí)t=3，
當(dāng)t=3時(shí)，N的坐標(biāo)為（6，

3

2

），此時(shí)PN取最小值為

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，割補(bǔ)法，三角形面積，分類思想，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，根的判別式，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．